Wasserpumpe nicht erneuert trotz Rechnung?

Im Januar ist bei meinem Auto der Keilrippenriemen gerissen. Das Auto wurde in eine Werkstatt geschleppt. Laut Rechnung wurden dort unter anderem der Keilrippenriemen und die Wasserpumpe erneuert.
Etwa fünf bis sechs Monate später traten dann die ersten Probleme auf. Das Auto verlor plötzlich Kühlmittel und ich musste schließlich fast jede Woche Kühlmittel nachfüllen. Außerdem stieg die Kühlmitteltemperatur einmal auf 120–130 °C, weshalb ich Angst vor einem Motorschaden hatte.
Da ich das Auto dringend brauchte, bin ich zu einer anderen Werkstatt (die Werkstatt eines Bekannten) gefahren. Die erste Werkstatt ist außerdem über 30 Minuten von mir entfernt. Dort wurde festgestellt, dass die Wasserpumpe undicht war und Kühlmittel verlor. Laut dem Mechaniker war sie an der Welle undicht und wies deutliche Gebrauchsspuren auf. Er meinte auch, dass die Wasserpumpe seiner Meinung nach definitiv nicht erst fünf bis sechs Monate alt sein könne. Auffällig waren unter anderem grüne Dichtmasse und eine bereits deutlich eingedrückte Dichtung.
Die Wasserpumpe wurde dort gegen eine neue ersetzt und seitdem ist das Problem vollständig behoben.
Daraufhin habe ich die erste Werkstatt angeschrieben und die Erstattung der Kosten verlangt. Als Antwort bekam ich einen Lieferschein bzw. Einkaufsnachweis, dass sie damals eine Wasserpumpe gekauft haben. Außerdem schrieben sie, ich könne die ausgebaute Wasserpumpe vorbeibringen und würde den Kaufpreis der Pumpe erstattet bekommen. Die Kosten für den erneuten Einbau (300€) wollen sie allerdings nicht übernehmen, weil ich ihnen zuerst die Möglichkeit zur Nachbesserung hätte geben müssen.
Jetzt frage ich mich:
Reicht ein Einkaufsnachweis überhaupt als Beweis dafür, dass die Wasserpumpe tatsächlich in meinem Auto eingebaut wurde?

Hättet ihr bei einer Kühlmitteltemperatur von bis zu 130 °C und ständigem Kühlmittelverlust auch sofort reparieren lassen oder erst die erste Werkstatt kontaktiert?

Wie würdet ihr in meiner Situation weiter vorgehen?