Nach Ausbildung ohne Vertrag weitergearbeitet – jetzt krank & Kündigung droht?

Hallo zusammen, ich brauche mal eure Einschätzung zu meiner aktuellen Situation, da ich mir unsicher bin.

15.07.: Ich habe meine Ausbildung erfolgreich beendet.

Danach: Mir wurde ein Vertrag vorgelegt (Einsatz als Springer), den ich aber nicht unterschriebenhabe, weil ich mit den Konditionen nicht einverstanden war.

Aktueller Stand: Ich bin einfach weiter arbeiten gegangen. Ich habe seit dem 16.07. ganz normal Vollzeit dort gearbeitet und auch schon 1-2 Mal meinen vollen Vollzeit-Lohn abgerechnet und überwiesen bekommen.

Jetzt: Ich bin aktuell krankgeschrieben. Der Chef macht Stress. Zudem wurde der Laden verkauft, zum 01.11. kommt ein neuer Geschäftsführer.

Stimmt es, dass durch das Weiterarbeiten und die Lohnzahlung automatisch ein unbefristeter Vertrag kraft Gesetz (§ 24 BBiG) ohne Probezeit entstanden ist? Greift bei mir wegen der Ausbildungszeit schon der Kündigungsschutz (Betrieb hat über 10 Mitarbeiter)? Und was passiert wegen des Geschäftsführerwechsels (Betriebsübergang § 613a BGB)?

Ich habe Angst, dass mir wegen der Krankheit gekündigt wird, weil ich ja "nichts Unterschriebenes" habe. Danke für eure Hilfe!